أي المثلثات تسمى فيثاغورس؟
أي المثلثات تسمى فيثاغورس؟
قدم أمثلة لمثلثات فيثاغورس.
مثلثات فيثاغورس – هذه نظرية كبيرة. الاسم العام لهذه النظرية هو الثلاثي فيثاغورس. وهذه هي مجموعات من الأرقام الطبيعية التي تفي بالمعادلة x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2. من أي الثلاثي فيثاغورس (بالمناسبة، من خلال نظرية معكوس من فيثاغورس) فمن الممكن لبناء مثلث مستطيل، والتي سوف تسمى فيثاغورس. هناك العديد من الطرق لحل هذه المعادلة. والمثلثات فيثاغورس نفسها لديها العديد من الخصائص الهندسية مثيرة للاهتمام.
وهناك أمثلة قليلة من ثلاثية فيثاغورس (3،4،5)، (6،8،10)، (5،12،13)، (9،12،15)، (8،15،17)، (12.16، 20)، (15،20،25)، (7،24،25)، (10،24،26)، (20،21،29)، (18،24،30)، (16،30،34) (21،28،35)، (12،35،37)، (15،36،39)، (24،32،40)، (9،40،41)، (14،48،50)، ( 30،40،50)
أي من هذه المثلثات يمكن بناؤها بالطريقة المعتادة لبناء مثلث على ثلاثة جوانب باستخدام البوصلة والحاكم.
فيثاغورس مثلث مع الجانبين 3، 4، 5 هو معروف منذ العصور القديمة. ويطلق عليه اسم المصري، وكان يستخدم لبناء زاوية الحق في التضاريس. بدلا من الرسم، تم استخدام حبل، مقسوما على 12 عقدة إلى أجزاء متساوية، والتي امتدت إلى أوتاد.
بناء المثلث المصري بوصلة وحاكم:
ملتوية قليلا وزاوية ليست مستقيمة تماما، لأنه تم تسريعها باليد. نفس الطريقة تنطبق على بناء أي مثلث فيثاغورس من الثلاثية المعروفة
ودعا مثلثات قائمة الزاوية فيثاغورس التي زاوية واحدة من الخط المستقيم هو 90 درجة، والاثنان الآخران حاد. وتسمى هذه المثلثات أيضا ثلاثيات فيثاغورس. ودعا الجانب الواقعة قبالة الزاوية اليمنى الوتر، ودعا الاثنان الآخران الساقين. الخاصية الأكثر أهمية في هذه المثلثات التي أعرب عنها نظرية فيثاغورس: مربع الوتر يساوي مجموع مربعات من الجانبين الآخرين. أول جدا وفي ثلاثية فيثاغورس هو مثلث مع نسبة من الجانب أطوال 3،4 و5. التحقق من صحة نظرية فيثاغورس بسيطة جدا: 3 * 3 = 9، 4 * 4 = 16، 5 * 5 = 25، 9 + 16 = 25. للأسف لم استطع هنا للرسم.
يمكن أن يكون مثلث الحق؟ منذ هناك نظرية فيثاغورس، الذي يقرأ "مجموع مربعات الساقين يساوي مربع من الوتر" وأعتقد أن هذا هو الحال)
نظرية فيثاغورس
نظرية فيثاغورس في الهندسة لا يقل أهمية عن جدول الضرب في الحساب. حل العديد من المشاكل الهندسية (سواء في بلانيمتري وفي علم القياس) يقلل من النظر في مثلثات مستطيلة وتطبيق هذه النظرية الرائعة.
في مثلث مستطيل، يساوي مربع الوتر مجموع مربعات الساقين.
هناك العديد من الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس. ونحن نقتصر على واحد منهم فقط.
نظرا: Δ أبك، ∠C = 90º.
السماح بك = a، أس = b، أب = c.
على الوتر أب نبني مربع مع الجانب ج.
على تمديد أس الجانب نؤجل أف أف الجزء، أف = أ،
على امتداد الجانب بك هو الجزء بك، بك = b.
سف = أف + أس = a + b، سك = بك + بك = a + b، وهذا هو سف = سك = a + b.
من خلال النقاط F و K رسم خطوط مستقيمة موازية للساقين:
و سفك الرباعي هو متوازي الاضلاع (بحكم التعريف).
وبما أن ∠C = 90º و سف = سك، كف هو مربع مع الجانب + ب.
منذ مربع مربع يساوي مربع من جانبها، ثم
من ناحية أخرى، فإن منطقة كفك تساوي مجموع المناطق من أربعة مثلثات الزاوية اليمنى مع الساقين b و c ومربع مع الجانب ج.
مربع مربع مع الجانب ج هو c².
نحن نساوي الجانب الأيمن من الصيغ منطقة كفك:
بعد التبسيط، نحصل عليها
كما هو مطلوب لإثبات.
منذ في مثلث الزاوية اليمنى، وغالبا ما يتم تعيين الساقين كما و ب، ووعاء كما ج، ثم صيغة نظرية فيثاغورس عادة ما يكتب مثل هذا:
طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس: الأمثلة والوصف والاستعراضات
في واحد، يمكن للمرء أن يكون متأكدا من مائة في المئة أن أي سؤال حول ما مربع من الوتر مساويا، أي شخص بالغ سوف يجيب بجرأة: “مجموع مربعات الساقين”. وقد استقرت هذه النظرية بقوة في أذهان كل شخص متعلم، ولكن يكفي أن يطلب من شخص ما لإثبات ذلك، ويمكن أن تكون هناك صعوبات. ولذلك، دعونا نتذكر وننظر في طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس.
نظرية فيثاغورس هي مألوفة للجميع تقريبا، ولكن لسبب ما سيرة الشخص الذي أنتجه ليست شعبية جدا. هذا قابل للتثبيت. لذلك، قبل دراسة طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس، يجب على المرء أن يتعرف لفترة وجيزة على شخصيته.
فيثاغورس هو الفيلسوف، عالم الرياضيات، المفكر أصلا من اليونان القديمة. اليوم من الصعب جدا تمييز سيرة حياته عن الأساطير التي شكلت في ذكرى هذا الرجل العظيم. ولكن على النحو التالي من كتابات أتباعه، ولدت فيثاغورس ساموس في جزيرة ساموس. كان والده من قطع الحجارة المشتركة، ولكن والدته جاءت من عائلة نبيلة.
حكم من قبل أسطورة، ولادة من فيثاغورس كان متوقعا من قبل امرأة تدعى بيثيا، الذي شرفوا فتى. ووفقا لتوقعها، كان على الولد المولود جلب العديد من الفوائد وجيدة للبشرية. الذي، في الواقع، فعل.
في شبابه انتقلت فيثاغورس من جزيرة ساموس إلى مصر، للقاء هناك مع الحكماء المصريين الشهيرة. بعد لقاء معهم، تم قبوله للدراسة، حيث تعلم كل الإنجازات العظيمة للفلسفة المصرية والرياضيات والطب.
ربما كان في مصر أن فيثاغورس مستوحاة من عظمة وجمال الأهرامات وخلق نظريته العظيمة. هذا قد صدمة القراء، ولكن المؤرخين الحديثة يعتقدون أن فيثاغورس لم يثبت نظريته. نقل فقط علمه إلى أتباع، الذين أكملوا في وقت لاحق كل الحسابات الرياضية اللازمة.
مهما كان، اليوم ليس طريقة واحدة من دليل على هذه النظرية المعروفة، ولكن عدة. اليوم يمكننا أن نخمن فقط كيف بالضبط الإغريق القدماء جعلت حساباتهم، لذلك هنا نعتبر طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس.
قبل البدء في أي حسابات، تحتاج إلى معرفة أي نظرية لإثبات. نظرية فيثاغورس تبدو مثل هذا: “في المثلث، الذي واحد من الزوايا 90 س، مجموع مربعات الساقين يساوي مربع من الوتر”.
في المجموع هناك 15 طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس. هذا هو شخصية كبيرة إلى حد ما، لذلك دعونا الالتفات إلى الأكثر شعبية منهم.
أولا، دعنا نشير إلى ما يعطينا. وسيتم تمديد هذه البيانات إلى أساليب أخرى لإثبات نظرية فيثاغورس، لذلك فمن الجدير بالذكر جميع الرموز المتاحة.
لنفترض، نظرا لمثلث مستطيلة، مع الساقين a، ب و وتر، يساوي ج. الطريقة الأولى للإثبات تقوم على حقيقة أن المستطيل يحتاج إلى رسم مربع.
للقيام بذلك، فمن الضروري رسم جزء يساوي الكاثيت إلى طول الساق والعكس بالعكس. وهذا ينبغي أن يؤدي إلى اثنين من الجانبين على قدم المساواة من الساحة. يبقى فقط لرسم خطين مستقيمين متوازيين، والساحة جاهزة.
داخل الرقم الناتج، تحتاج إلى رسم مربع آخر مع الجانب يساوي الوتر من المثلث الأصلي. للقيام بذلك، من القمم أس و ست يجب رسم اثنين من قطاعات متوازية من المساواة ج. وهكذا، نحصل على ثلاثة جوانب من الساحة، واحدة منها هو وتر من المثلث المستطيل الأصلي. ويبقى فقط لدعم الجزء الرابع.
على أساس الرقم الناتج، يمكننا أن نستنتج أن منطقة الساحة الخارجية هي (أ + ب) 2. إذا نظرتم داخل هذا الرقم، يمكنك أن ترى أنه بالإضافة إلى مربع الداخلية هناك أربعة مثلثات مستطيلة في ذلك. وتبلغ مساحة كل منها 0.5aV.
ولذلك، فإن المنطقة هي: 4 * 0.5aB + ج 2 = 2aB + ج 2
وبالتالي (a + b) 2 = 2aB + c 2
وبالتالي، مع 2 = 2 + في 2
الطريقة الثانية: مثلثات مماثلة
وقد استمدت هذه الصيغة لإثبات نظرية فيثاغورس على أساس تأكيد من قسم الهندسة على مثلثات مماثلة. وتقول أن كاثيت المثلث الأيمن هو متوسط النسبي لوتره وجزء من الوتر الناشئة من قمة زاوية 90 درجة.
البيانات الأولية لا تزال هي نفسها، ولذا فإننا سوف تبدأ على الفور مع الدليل. نرسم عمودي على الجانب أب جزء من سد. استنادا إلى البيان أعلاه، الساقين مثلث هي:
وللإجابة على السؤال المتعلق بكيفية إثبات نظرية فيثاغورس، يجب بناء الدليل عن طريق تفاوت كل من أوجه عدم المساواة.
أس 2 = أب * أد و سب 2 = أب * دف
الآن نحن بحاجة إلى إضافة ما يصل التفاوتات الناتجة.
أس 2 + سب 2 = أب * (أد * دف)، حيث أد + دب = أب
أس 2 + سب 2 = أب * أب
أس 2 + سب 2 = أب 2
والدليل على نظرية فيثاغورس ومختلف طرق حلها يتطلب نهجا تنوعا لهذه المشكلة. ومع ذلك، هذا الخيار هو واحد من أبسط.
لا يمكن أن يقال وصف طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس عن أي شيء، حتى إذا كنت نفسك تبدأ في ممارسة. العديد من الطرق توفر الحسابات الرياضية فحسب، ولكن أيضا بناء أرقام جديدة من المثلث الأصلي.
في هذه الحالة، فمن الضروري لاستكمال مثلث مستطيل آخر من فسد من قبل الميلاد. وهكذا، الآن هناك نوعان من مثلثات مع الساق المشتركة قبل الميلاد.
مع العلم أن المناطق ذات الأرقام المماثلة لها نسبة مثل مربعات أبعادها الخطية مماثلة، ثم:
منذ من أساليب مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس للصف 8 هذا البديل هو بالكاد مناسبة، يمكن للمرء أن استخدام الإجراء التالي.
أبسط طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس. التعليقات
ويعتقد المؤرخون أن هذه الطريقة استخدمت لأول مرة لإثبات نظرية حتى في اليونان القديمة. هذا هو أبسط، لأنه لا يتطلب على الاطلاق أي حسابات. إذا تم رسم الرسم بشكل صحيح، ثم دليل على بيان أن 2 + في 2 = ج 2 سوف ينظر بوضوح.
شروط هذه الطريقة سوف تكون مختلفة قليلا عن سابقتها. لإثبات نظرية، لنفترض أن مثلث الحق أبك هو مثلث إيزوسليس.
نحن نأخذ الوتر أس إلى جانب الساحة ولدينا ثلاثة من جوانبها. بالإضافة إلى ذلك، فمن الضروري رسم خطين قطريين في المربع الناتج. وهكذا، للحصول على أربعة مثلثات إيزوسيليس داخله.
إلى الساقين أب و سب، تحتاج أيضا أن يكون الطفل في الساحة ورسم خط قطري واحد في كل واحد منهم. يتم رسم السطر الأول من قمة الرأس A، يتم رسم السطر الثاني من C.
الآن تحتاج إلى النظر عن كثب في الرسم الناتجة. وبما أن هناك أربعة مثلثات على الوتر من أس، يساوي المثلث الأصلي، وعلى الساقين من قبل اثنين، وهذا يدل على حقيقة النظرية.
من جانب الطريق، وبفضل هذه التقنية، دليلا على نظرية فيثاغورس، ولدت العبارة الشهيرة: “السراويل فيثاغورس في كل الاتجاهات على قدم المساواة.”
جيمس غارفيلد هو الرئيس العشرين للولايات المتحدة الأمريكية. وبالإضافة إلى ذلك، ترك بصماته في التاريخ كحاكم للولايات المتحدة، وكان أيضا موهوبين ذاتيا.
في بداية حياته المهنية، كان مدرسا عاديا في المدرسة العامة، ولكن سرعان ما أصبح مديرا لأحد المؤسسات التعليمية العليا. الرغبة في التنمية الذاتية سمحت له أن يقترح نظرية جديدة لإثبات نظرية فيثاغورس. النظرية ومثال على حلها هي كما يلي.
أولا تحتاج إلى رسم على قطعة من الورق اثنين مثلثات مستطيلة في مثل هذه الطريقة أن كاثيت واحد منهم كان استمرارا للثانية. تحتاج رؤوس هذه المثلثات إلى أن تكون متصلا بحيث يظهر شبه المنحرف في نهاية المطاف.
كما هو معروف، فإن منطقة شبه منحرف تساوي نتاج نصف مجموع قواعدها إلى الارتفاع.
إذا نظرنا إلى شبه منحرف الناتجة كشكل يتكون من ثلاثة مثلثات، ثم يمكن العثور على منطقتها على النحو التالي:
الآن من الضروري تحقيق التعادل بين التعبيرين الأولي
يمكن كتابة نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها ليس فقط حجم واحد من الكتاب المدرسي. ولكن هل هناك أي معنى في ذلك عندما لا يمكن تطبيق هذه المعرفة في الممارسة العملية؟
التطبيق العملي لنظرية فيثاغورس
ولسوء الحظ، فإن المناهج الدراسية الحديثة لا تستخدم هذه النظرية إلا في مشاكل هندسية. سوف الخريجين ترك قريبا جدران المدرسة، من دون معرفة، وكيف يمكن تطبيقها معارفهم ومهاراتهم في الممارسة العملية.
في الواقع، يمكن للجميع استخدام نظرية فيثاغورس في حياتهم اليومية. وليس فقط في العمل المهني، ولكن أيضا في الشؤون الداخلية العادية. دعونا ننظر في العديد من الحالات التي قد تكون نظرية فيثاغورس وأساليب إثباتها ضرورية للغاية.
يبدو، كيف يمكن ربط النجوم والمثلثات على الورق. في الواقع، علم الفلك هو المجال العلمي الذي يستخدم نظرية فيثاغورس على نطاق واسع.
على سبيل المثال، النظر في حركة شعاع ضوء في الفضاء. ومن المعروف أن الضوء يتحرك في كلا الاتجاهين في نفس السرعة. مسار أب، الذي يتحرك شعاع من الضوء، ويسمى ل. ونصف الوقت الذي يحتاج الضوء للحصول على من النقطة ألف إلى النقطة باء، وسوف نسميها تي. وسرعة شعاع – ج. وتبين أن: c * t = l
اذا نظرتم الى هذه نفس شعاع من طائرة أخرى، على سبيل المثال، فإن سفينة الفضاء، والتي تتحرك مع سرعة الخامس، ثم تحت إشراف الهيئات مثل هذا التغيير سرعتهم. في هذه الحالة، حتى العناصر الثابتة سوف تتحرك بسرعة v في الاتجاه المعاكس.
دعونا نقول بطانة هزلية يسبح إلى اليمين. ثم النقاط A و B، بين الذي يندفع شعاع، سوف تتحرك إلى اليسار. وعلاوة على ذلك، عندما يتحرك شعاع من النقطة ألف إلى النقطة باء، النقطة A الوقت للتحرك، وبناء عليه، فقد حان الضوء إلى نقطة C. جديد للعثور على نصف المسافة التي انتقلت النقطة A، فمن اللازمة لمضاعفة سرعة السفينة في الشوط الأول شعاع السفر (ر ‘).
ومن أجل معرفة المدى الذي يمكن أن يمر به شعاع الضوء خلال هذا الوقت، من الضروري تعيين نصف مسار الزان الجديد s والحصول على التعبير التالي:
إذا تخيلنا أن نقطة ضوء C و B، وكذلك سفينة الفضاء – هو الجزء العلوي من مثلث متساوي الساقين، وهذا الجزء من النقطة ألف إلى بطانة تقسيمه إلى مثلثين الزاوية اليمنى. لذلك، يمكن بفضل نظرية فيثاغورس العثور على المسافة التي كانت قادرة على تمرير شعاع من الضوء.
هذا المثال، بطبيعة الحال، ليس هو الأكثر نجاحا، لأن الوحدات فقط يمكن أن يكون محظوظا بما يكفي لمحاولة ذلك في الممارسة العملية. لذلك، النظر في إصدارات أكثر دنيوية من تطبيق هذه النظرية.
نصف قطر نقل إشارة المحمول
الحياة الحديثة من المستحيل أن نتصور دون وجود الهواتف الذكية. ولكن كم سيكون بالنسبة لهم لشراء، إذا لم يتمكنوا من ربط المشتركين من خلال الاتصالات المتنقلة؟!
وتعتمد نوعية الاتصالات المتنقلة مباشرة على ارتفاع هوائي مشغل الهاتف المحمول. من أجل حساب المسافة من برج المحمول، يمكن للهاتف تلقي إشارة، يمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس.
لنفترض أننا بحاجة إلى العثور على الارتفاع التقريبي للبرج الثابت بحيث يمكن نشر الإشارة ضمن دائرة نصف قطرها 200 كيلومتر.
أب (ارتفاع البرج) = x؛
بك (نصف قطر إرسال الإشارة) = 200 كم؛
أوس (نصف قطر الكرة الأرضية) = 6380 كم؛
تطبيق نظرية فيثاغورس، وسوف نكتشف أن الحد الأدنى لارتفاع البرج يجب أن يكون 2.3 كم.
ومن المفارقات، نظرية فيثاغور يمكن أن تكون مفيدة حتى في المسائل اليومية، مثل تحديد ارتفاع خزانة، على سبيل المثال. للوهلة الأولى، ليست هناك حاجة لاستخدام مثل هذه الحسابات المعقدة، لأنه يمكنك ببساطة اتخاذ القياسات باستخدام الروليت. ولكن الكثير يتساءلون لماذا في عملية التجميع هناك بعض المشاكل، إذا تم أخذ جميع القياسات أكثر من دقة.
والحقيقة هي أن خزانة يتم تجميعها في وضع أفقي وبعد ذلك فقط يرتفع ويتصاعد على الجدار. لذلك، يجب أن يمر جدار مجلس الوزراء أثناء رفع هيكل بحرية سواء في الارتفاع وقطريا من الغرفة.
لنفترض أن هناك خزانة مع عمق 800 ملم. المسافة من الأرض إلى السقف 2600 ملم. سوف يقول صانع الأثاث من ذوي الخبرة أن ارتفاع مجلس الوزراء يجب أن يكون 126 مم أقل من ارتفاع الغرفة. ولكن لماذا على 126 ملم؟ فكر في المثال.
دعونا تحقق من تأثير نظرية فيثاغورس لأبعاد مثالية لمجلس الوزراء:
أس = √2474 2 +800 2 = 2600 مم – كل يتلاقى.
لنفترض أن ارتفاع مجلس الوزراء ليس 2474 ملم، ولكن 2505 ملم. ثم:
لذلك، هذه الخزانة ليست مناسبة للتركيب في هذه الغرفة. كما هو الحال عند رفعه إلى وضع عمودي، يمكنك تلف الجسم.
ربما، بعد النظر في طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس من قبل علماء مختلفين، يمكننا أن نخلص إلى أنه أكثر من صادقة. الآن يمكنك استخدام المعلومات الواردة في حياتك اليومية وتكون واثقة تماما أن جميع الحسابات لن تكون مفيدة فقط، ولكن أيضا صحيح.
